STP003: Logikgatter

Schlüsseltechnologie

Heute erklärt Xyrill Logikgatter. Und das, obwohl er selbst nicht so genau weiß, was da drin ist. Das ist aber auch nicht zwingend nötig – sagt er –, denn es kommt ja darauf an, was sie tun. Obwohl die meisten Logikgatter scheinbar sehr langweilig sind, schaffen wir es nur, damit zu addieren. Allerdings ist das für ttimeless auch genug für den Anfang.

Shownotes

• Rückblick STP001: Binärzahlen sind dargestellt als Folge von Bits

  • z.B. 16-Bit-Zahl entspricht 16 Stromleitungen, an denen die Spannung an oder aus ist

• Ziel: Berechnungen auf solchen Zahlen

  • z.B. Addition zweiter 16-Bit-Zahlen: 2x16 = 32 Bit gehen rein, 16 neue Bit kommen raus
  • Wie kombiniert man Bits sinnfällig?
  • Logikgatter: Bausteine für solche Schaltkreise
    • allgemein ein oder zwei Eingänge und ein Ausgang
    • ansonsten Logikschaltung bzw. Logikbaustein, der aus mehreren Gattern zusammengesetzt ist

• Logikgatter mit einem Eingang und einem Ausgang

  • Gatter unterscheiden sich in der Ausgabe bei Eingabe 0 (2 Optionen) und in der Ausgabe bei Eingabe 1 (2 Optionen)
  • insgesamt 2x2 = 4 mögliche Gatter
    • 0 -> 0, 1 -> 0 -- Ausgang ist konstant Null (langweilig)
    • 0 -> 0, 1 -> 1 -- Ausgang ist gleich Eingang (langweilig)
    • 0 -> 1, 1 -> 0 -- Ausgang ist Negation des Eingangs (NOT-Gatter)
    • 0 -> 1, 1 -> 1 -- Ausgang ist konstant Eins (langweilig)

• Logikgatter mit zwei Eingängen und einem Ausgang

  • vier mögliche Eingaben (00, 01, 10, 11) und je zwei mögliche Ausgaben (0, 1) -> 2^4=16 mögliche Gatter
  • darunter sechs langweilige Gatter
    • Ausgang ist konstant Null
    • Ausgang ist konstant Eins
    • Ausgang ist gleich Eingang 1
    • Ausgang ist gleich Eingang 2
    • Ausgang ist Negation von Eingang 1
    • Ausgang ist Negation von Eingang 2
  • sechs nützliche Gatter Logikgatter
    • AND: Sind beide Eingänge 1?
    • OR: Ist wenigstens ein Eingang 1?
    • XOR: Ist genau ein Eingang 1? bzw. Sind beide Eingänge unterschiedlich?
    • NAND: Ist wenigstens ein Eingang 0?
    • NOR: Sind beide Eingänge 0?
    • NXOR, XNOR: Sind beide Eingänge gleich?
  • vier verbleibende Gatter sind nicht so intuitiv, können aber bei Bedarf aus den obigen Gattern zusammengesetzt werden

• Beispiel für eine Logikschaltung: Addiernetz

  • Idee analog zum Addieren auf Papier wie in der Grundschule mit Übertrag
    • Beispiel hier: 35 + 47 = 82
  • Halbaddierer: zwei Eingänge, zwei Ausgänge
    • Zwei Ein-Bit-Zahlen werden zu einer Zwei-Bit-Zahl addiert.
    • Ausgang 1 = XOR (erste Stelle der addierten Zahl)
    • Ausgang 2 = AND (zweite Stelle der addierten Zahl)
    • z.B. bei dezimal: 5 + 7 = 2 + Übertrag 1
    • in binär: Ausgang 1 = XOR, Ausgang 2 = AND
  • Volladdierer: drei Eingänge, zwei Ausgänge
    • Wie der Halbaddierer, aber nimmt auch den Übertrag der vorherigen Stelle mit.
    • z.B. bei dezimal: 3 + 4 + Übertrag 1 = 8 + Übertrag 0
  • Addiernetz für N-Bit-Zahlen: 2N Eingänge, N Ausgänge
    • ein Halbaddierer für die erste Stelle
    • je ein Volladdierer für jede weitere Stelle
    • Überlauf: Was ist, wenn der finale Übertrag nicht 0 ist?
      • Option 1: als Zustand im Prozessor speichern, der später abgefragt werden kann
      • Option 2: als Fehler behandeln, Prozess oder Prozessor anhalten

• Warum sind Logikgatter interessant?

  • starke Abstraktionsebene: fast das gesamte Verhalten des Computers als Rechenmaschine ist aus Logikgattern zusammengesetzt
  • konkrete Hardware (z.B. konkrete Art von Transistoren) ist oberhalb der Ebene der Logikgatter fast unerheblich
  • aber natürlich: keine Abstraktion ist perfekt...
  • Beispiel: Schaltverzögerung -> Takt